一页PPT证明黎曼猜想?Michael Atiyah刚刚的正式演讲炸了锅 | 数盟

就是它↓↓↓

9 月 20 日,一张 Twitter 截图引爆数学圈:菲尔兹奖、阿贝尔奖得主迈克尔 · 阿蒂亚(Michael Atiyah)爵士将证明数学王冠上的明珠——黎曼猜想。今日,在德国举办的 2018 年度海德堡获奖者论坛(Heidelberg Laureate Forum)上,阿蒂亚爵士用 45 分钟的时间向全世界展示这个有着一百五十多年历史的数学猜想的证明,不过前三十分钟都在介绍历史,证明只有一页 PPT……其实大会开幕前不久,有消息称网上已有阿蒂亚爵士的预印版论文,但机器之心只查证到最早是 Reddit 上一篇讨论给出的谷歌文档链接,未能确认其出处与权威性,因此放在文后供大家研究。

引爆朋友圈的 Twitter 截图,迈克尔 · 阿蒂亚爵士在今日于德国举办的海德堡获奖者论坛上宣讲其证明。图中表明,阿蒂亚宣布「我将展示一个简单的证明,用一种全新的方法」,这个证明基于冯诺伊曼(1936)、希策布鲁赫(1954)和狄拉克(1928)的相关研究。

黎曼猜想

1900 年在法国巴黎举行的第二届国际数学家大会上,德国数学家希尔伯特做了《数学难题》的演讲,列举了他认为最重要的 23 个数学难题。100 年之后的 2000 年,美国克雷数学研究所也在巴黎发起了一个数学会议,参会数学家共同讨论并列出了最重要的 7 个数学难题,还为每个难题设置了 100 万美元的奖金。没错,这就是著名的「千禧问题」。

而无论是 23 个希尔伯特难题还是 7 个「千禧问题」,只有一个问题同时出现,那就是黎曼猜想。

国内知名科普作家卢昌海对于黎曼猜想如此评价:

与费马猜想时隔三个半世纪以上才被解决,哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比,黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远,但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。

所以,什么是黎曼猜想?

黎曼猜想是数学家黎曼在 1859 年向柏林科学院提交的一篇短论文(才八页)中提出的,这篇论文讨论的是素数分布的问题。素数分布在数论中有很重要的地位,相当于原子概念在现代物理学中的地位。黎曼发现,素数分布的规律就隐藏在某个函数的零点分布中。这个函数就是黎曼 ζ 函数:

黎曼 ζ 函数

黎曼将该函数解析延拓至整个复平面,并指出:黎曼ζ函数的非平凡零点(是指 s 不为-2、-4、-6‧‧‧等点的值,这些都是平凡零点)的实数部分都是 1/2。也就是说,这些非平凡零点都分布在复平面的 Re(z)=1/2 的直线上(即下图中的虚线)。

1901 年 Helge von Koch 指出,黎曼猜想与强条件的素数定理等价,其中π(x) 为不大于 x 的素数个数。目前已验证最初的 1,500,000,000 个素数对这个定理都成立。但是否所有的解对该定理都成立,尚无证明。

黎曼猜想与数论中的素数分布问题有着非常紧密的联系。数论是数学的重要分支,在数论中,素数分布问题又是一个重要研究课题。也就是说,黎曼猜想的证实对数论也有很重要的影响。此外,人们还发现黎曼猜想与某些物理现象存在关联,这也增加了黎曼猜想在物理学界的影响力。

黎曼猜想及推广形式的成立是现有很多数学命题的前提。如果黎曼猜想及其推广形式被证明,这些数学命题都将变为数学定理;反之,一旦黎曼猜想被证伪,将有 1000 多个数学命题成为黎曼猜想的「陪葬品」。要证伪黎曼猜想,只需要找到一个不在 Re(z)=1/2 这条直线上的非平凡零点即可,当然目前并没有发现这样的零点。

如果能在 500 年后重返人间,要问的第一件事情,就是黎曼猜想被证明了还是被证伪了。——希尔伯特

迈克尔 · 阿蒂亚爵士的证明

迈克尔 · 阿蒂亚 (Michael Atiyah, 1929.4.22-) 是英国著名的数学家,也是当代最伟大的数学家之一。他的主要研究领域为几何,1960 年代他与伊萨多·辛格合作,证明了沟通数学分析和拓扑学两大领域的阿蒂亚-辛格指标定理。1966 年,阿蒂亚爵士荣获菲尔兹奖,2004 年与辛格共同获得阿贝尔奖。

今年向黎曼猜想发起挑战的阿蒂亚爵士已经 89 岁了。

因年龄以及状态问题,在 Twitter 截图爆出后,有些人质疑阿蒂亚爵士宣称的内容。援引公众号科研圈的内容表示,「阿蒂亚爵士近来状态不佳,先前提出的命题未得到证明;而且他已经 89 岁高龄,几乎没有数学家能在这样的年龄作出成绩。美国数学物理学家约翰 · 卡洛斯 · 贝兹(John Carlos Baez,推特 @johncarlosbaez)在推特留言:我看这个证明站不住脚。阿蒂亚最近的大发现都站不住脚,比如他说要证明六维球面没有复结构。每个熟悉他的人都不好意思公开讨论原因。」

当然,他也有一批支持者,认为「我想如果有谁能完成这件事,那就是阿蒂亚。」(出自英国应用数学家马特 · 亨特 Twitter)

阿蒂亚在晚年不乏雄心,面对外界的质疑,他曾经说道:「我已经得到了我需要的所有奖项,我还能失去什么?这就是为什么我在冒着一个年轻学者不敢冒的风险。」

无论是质疑还是支持,阿蒂亚爵士口中的「一个简单的证明,一种全新的方法」今日最终在海德堡获奖者论坛上公布:

因观看人数过载,直播崩溃,官方改为手机直播,经机器之心留言提醒,官方终于把直播画面对准PPT,感动。

首先,Michael Atiyah 介绍了素数研究的历史以及素数与黎曼猜想的关系。

他还开了个玩笑,「解决黎曼猜想你会出名,但如果你已经是个名人,那就有声名狼藉的风险了。」

Atiyah 花了很多时间介绍欧拉公式,这并不是因为它连接了虚数等各种元素的美丽,同时还因为连接冯诺伊曼和 Hirzebruch 关键思想可以得出更加一般的欧拉表达式,这对于以新的角度审视与证明黎曼猜想非常重要。Atiyah 说:「欧拉公式相当于莎翁『生存或毁灭』的数学等价物。」

为什么黎曼猜想如此有趣却那么难以证明?Michael Atiyah 表示主要有以下三个方面,首先素数表现出局部不规则性,却又渐进地表现出一些规律;其次要想知道 N 以内的素数数量,这是非常困难的;最后这些困难与疑惑,很多都能通过黎曼猜想得到解释,因此即使它还没有被证明,实际上已经有很多推理都建立在它之上了。

此前有很多人猜测,Michael Atiyah 会使用量子力学来证明黎曼猜想,但 Atiyah 在演讲中表示证明黎曼猜想的是 Todd 函数:

Atiyah 介绍了 TODD 函数与黎曼猜想之间的关系,以前我们无法证明黎曼猜想,但有了新工具后就有可能解决这个问题。TODD 函数最重要的属性是能发展一种对精细结构常数 α 的解释。

然后,重点来了,30 分钟介绍了黎曼猜想历史,终于到了证明的时刻。阿蒂亚爵士表示,所有的证明都在以下一页 PPT 上。

那么证明黎曼猜想后我们又能干什么呢?Michael Atiyah 表示 RH 能推广到多种情况,并且一步步得到证明。同时我们需要对素数实现数值计算的结果,它的证明对年轻的数学、计算机科学、逻辑学和物理学研究者非常重要,但期待 RH 的无限扩展却又是不可判定的。

最后,阿蒂亚爵士总结了未来预期可以做的任务:使用已有的最强大的工具;验证所有著名的猜想(已证明的、未证明的);确定那个可有效计算(在需要的时间尺度上);确定决定我们有时间完成。

以上就是阿蒂亚爵士在 HLF18 上的所有演讲内容了,之后官方会有完整视频放出。演讲结束后,Twitter上大家进行了激烈讨论,对这一页证明能否解开黎曼猜想抱有不同态度。

其实,在大会开幕之前,网上已经传播称阿蒂亚爵士放出了预印版论文,机器之心只查到该论文出自数小时前 Reddit 上的一篇讨论,未能确认其出处与权威性,但 Reddit 讨论中有用户表示这篇预印文章的来源似乎是一个 email list,但是最原始的发件人并不是 Atiyah,而是一个人自己说收到了 Atiyah 的 email。

直播结束后,仍未有消息确定此论文的准确来源。

机器之心将其预印论文附在下面,读者可自行研究。这篇预印本论文非常短,机器之心仅简要介绍了前言部分,其它更多的内容与证明需要查看原文档。

在 2018 年里约热内卢的 ICM Abel 讲座 [1] 中,我解释了如何解决从物理中出现的长期数学问题。这些问题的关键在于理解精细结构常数 α。

整个讲座的细节记载于 [2],且已提交到了皇家学会的议程 A。[2] 中发展的求解技术是冯诺伊曼和 Hirzebruch 关键思想的新颖融合,这种基于指数的无限迭代是非常复杂与强大的技术,且同时具有内在的简洁性。

本来弄懂 α 之谜是动力,但是这些方法的强大与一般性表明它们还应该能解决其它问题,或至少为那些难以解决的问题提供新的认识。在扩展 ICM 议程我所做的 Abel 讲座中,我推测 [2] 中的技术能引领 Arithmetic Physics 的新课题。

黎曼猜想(RH)断言 ζ(s) 在临界带 0 < Re(s) < 1,离临界线 Re(s) = 1/2 中无零点。它是数学中最著名的未解问题之一,也是 [1] 中设想的艰巨挑战。我相信这种新工具将不会辜负这种挑战,本论文将提供证明。

证明依靠一个新的函数 T(s),也就是 Todd 函数,由 Hirzebruch 以我的老师 J.A.Todd 名字命名。其定义和性质都在参考文献 [2] 中。但在章节 2 中,我会进行回顾与解释。在章节 3 中,我将使用 T(s) 函数证明黎曼猜想。在章节 4 中,也就是 Deus ex Machina 一节中,我将尝试解释黎曼猜想的证明。最后,在章节 5 中,如同设想的一样,我将把此论文放到 Arithmetic Physics。

以下是原文档:

该预印版论文共 5 页,文档地址:https://pan.baidu.com/s/1mT4oy1VNIE995mzJXv9jQg

最后,如果真的有读者大神研究这一证明,欢迎留言告诉我们结果(哈哈哈)。依稀记得两日前,2018 年菲尔兹奖得主彼得 · 舒尔茨 (Peter Scholze) 联合数学家雅各布 · 斯蒂克斯 (Jakob Stix) 宣布望月新一教授提供的 ABC 猜想的论文并不能证明 ABC 猜想……

注:转载文章均来自于公开网络,仅供学习使用,不会用于任何商业用途,如果侵犯到原作者的权益,请您与我们联系删除或者授权事宜,联系邮箱:contact@dataunion.org。转载数盟网站文章请注明原文章作者,否则产生的任何版权纠纷与数盟无关。
期待你一针见血的评论,Come on!

不用想啦,马上 "登录"  发表自已的想法.